교류회로의 저항 인덕턴스 커패시턴스(R, L, C)

전기기사에서 가장 기초적인 부분인 회로이론에서 중요한 부분이지만 이해하기 쉽지 않은 챕터일 수 있는데요.

 

직류회로에 비해 순시값, 적분, 미분 등 계속 변화함에 따라 조금은 계산하는 게 복잡하지만 원리와 개념을 잘 이해하려고 노력했어요.

 

저항(R), 인덕턴스(L), 커패시턴스(C)에 대해서 최대한 이해한 내용을 기반으로 쉽게 적어볼테니 도움 받으셨으면 좋겠습니다.

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교류회로의 저항 인덕턴스 커패시턴스

교류회로에서 가장 기본이 될 수 있는 기본 선형 소자 3개(저항, 인덕턴스, 커패시턴스)인데요.

 

저항은 많이 들어봤지만 인덕턴스, 커패시턴스 매우 생소하게 다가오더라구요. 기본적으로 살펴보면 아래와 같이 말씀드릴 수 있습니다.

기호	명칭	소자명	단위	역할
R	저항	저항	[Ω], 옴	에너지 열로 소비
L	인덕턴스	리액터	[𝐻], 헨리	자계 에너지를 축적
C	커패시턴스	콘덴서	[𝐹], 패럿	전하를 축적

 

즉 저항은 회로에서 발생된 전압을 열로 소비한다고 생각하시면 되고, 인덕턴스와 커패시턴스는 소비가 아닌 축적을 한다고 생각하시면 됩니다.

 

그렇다면 기본 교류 회로에서 저항, 인덕턴스, 커패시턴스만 각 각 있다고 가정하에 어떤 특징이 있을까요?

 

어렵게 생각하실 수 있지만 생각보다 난이도가 높지 않게 이해하실 수 있답니다.

1. 저항(R) 회로

저항은 다들 아시겠지만 전류의 흐름을 방해하며, 에너지를 열로 소비하는 소자입니다. R이라고 표시하고 옴이라고 읽죠.

 

옴의 법칙을 살펴보면 R = V/I 로 표현할 수 있죠. 이를 활용하면 쉽게 교류에서도 이해하실 수 있습니다.

 

저항(R) 양단에 교류 전류(순시값) √2Vsin𝛚t 를 가해질때 발생되는 전류를 구할 수 있어요.(교류의 순시값, 평균값, 최대값 확인)

 

• 양단에 √2Vsin𝛚t = V∠0º 전압을 가하면
• 저항에 흐르는 전류 𝑖 = 𝑣/𝑅 = √2Vsin𝛚t/𝑹 = √2𝑰sin𝛚t = 𝑰∠0º
• 여기서 보면 전압도 위상이 0도이고, 전류도 위상이 0도 임을 확인할 수 있음
• 즉, 임피던스 𝑍 = 𝑣/𝑖 = 𝐑∠0º
• 저항만 있는 회로에서는 전압과 전류의 위상차가 없는 동상

2. 인덕턴스(L) 회로

인덕턴스? 코일? 들어본 것 같은데 헷갈리는 부분이라고 생각됩니다. 저도 지금은 명확하게 알았지만 처음엔 코일을 떠올렸어요.

 

하지만 알고 보면 인덕턴스는 전류가 흐를 때 생기는 자속의 세기를 표현해주는 비례상수 라는점!! 꼭 기억해야 합니다.

자속 𝛷 = 𝑳𝑰, 인덕턴스 𝑳 = 𝛷/𝑰

 

또한 코일 같은 경우 감은 횟수에 따라 자속이 더 세지기 때문에 아래와 같이도 표현할 수 있습니다.

𝑵𝛷 = 𝑳𝑰, 인덕턴스 𝑳 = 𝑵𝛷/𝑰[𝑯]

• 인덕턴스를 가지도록 만드는 소자를 인덕터 또는 리액터라고 부름
• 페러데이 전자유도 법칙, 렌쯔 법칙 잘 알둬야 함
• 페러데이 전자유도: 자속의 변화가 생기면 기전력 발생 E = 𝑵d𝛷/dt[V]
• 렌쯔의 법칙: 자속의 변화로 생긴 기전력은 자속의 변화를 방해하는 방향으로 발생 E = -Nd𝛷/dt = -𝑳d𝑖/dt[V]
• 즉 코일에 전류 𝑖가 흐르면 자속의 변화가 생기면서 역 기전력 발생
• 역기전력 V𝑳 = -𝑳d𝑖/dt[V]

인덕턴스만 있는 회로에서는 역기전력에 의해 2개의 전압이 존재하게 되겠죠? 렌쯔의 법칙에 의해서! 이걸 잘 생각하면 발생된 전압의 크기도 방향만(+)로 바꾸면 식을 만들 수 있습니다.

• 전압 𝒗 = 𝑳d𝑖/dt[V]
• 위를 적분해서 풀어보면 아래와 같이 나오게 됩니다.
• 𝒗 = 𝒋𝛚𝑳∙√2𝑰sin𝛚t (𝙑 = 𝙍∙𝑰 형태)
• 𝒗 = 𝒋𝙑msin𝛚t
• 즉 𝒋𝛚𝑳는 저항으로서 X𝑳(유도성 리액턴스)라고 표현
• 또한 위 식을 보면 cos에서 sin으로 변환되었기 때문에 90도 전압이 앞서는 걸 확인할 수 있습니다.
• 유도성 리액턴스 X𝑳 = 𝒋𝛚𝑳 = 𝒋2𝛑𝑓𝑳[Ω]

즉 전압이 90도 앞선다는 뜻은 전류를 기준으로 생각한다면 90도 뒤진다고 할 수 있음으로 인덕턴스 회로는 90도 뒤지는 지상 전류가 흐른다고 생각하시면 됩니다.

 

또한 인덕턴스에 축적된 자계 에너지는 아래와 같이 구할 수 있습니다.

• W = P∙t = VI∙t = I²R∙t 에서 교류이기 때문에 적분을 해줘야 함
• W = ∫𝒗𝑖∙dt = ∫L𝑖∙d𝑖 = 1/2L𝑖²[J]

3. 커패시턴스(C) 회로

가장 생소할 수 있는 회로인 커패시턴스는 콘덴서를 떠올리면 쉽게 연상할 수 있어요. 정전용량이라고도 하죠.

 

정전용량이란 콘덴서에 전압 100V를 가했다고 가정하면 전위차에 의해 한쪽에는 +, 한쪽에는 - 전하가 이동하게 되며 서서히 전위가 높아지게 됩니다.

 

이때 콘덴서 전압이 100V가 되는 순간 전위차가 없어지게 되고 전하의 이동은 멈추게 됨 = 충전이 완료 된 걸 뜻함

 

즉 콘덴서에 모인 전하[Q] = 전압[V]와 비례 이때 비례식 또 등가식으로 전환해야하는데 비례상수가 필요함

 

이 비례상수를 'C' 커패시턴스, 정전용량이라고 합니다. Q = CV, C = Q/V(콘덴서 모인 전하/콘덴서 양단의 전위)

• 전하(Q)를 축적하는 소자, 에너지 소비 x
• 이 때 전류는 시간당 이동한 전하량 𝑰 = Q/t
• 교류이기 때문에 미분식 적용(적분 필요)
• 𝑖 = dq/dt = ∫dq = ∫𝑖∙dt
• q = ∫𝑖∙dt
• 여기서 V = Q/C에 대입하여 전압을 구하면
• 콘덴서 양단의 전압 𝒗 = 1/C∫𝑖∙dt
• 콘덴서에 순시값 전류 √2𝑰sin𝛚t가 흐르는 경우 콘덴서 양단의 전압
• √2𝑰 = Im(최대값)
• 𝒗 = 1/C∫𝑖∙dt = 1/C∫𝑰msin𝛚t∙dt = 1/𝛚c∙𝑰msin(𝛚t-90º)

즉, 전압이 전류보다 90도 뒤졌지만 전류 기준으로 전압보다 90도 앞선 걸 확인할 수 있습니다.(진상 전류)

• -90º = -𝒋
• 𝒗 = -𝒋1/𝛚c∙𝑰msin𝛚t (𝙑 = 𝙍∙𝑰 형태)
• 𝒗 = -𝒋𝙑msin𝛚t
• R = -𝒋1/𝛚c = Xc(용량성 리액턴스)
• 용량성 리액턴스 Xc = -𝒋1/𝛚c = 1/𝒋𝛚𝑳 = 1/𝒋2𝛑𝑓𝑳[Ω]

여기서 콘덴서에 축적된 정전 에너지 W를 구할 수 있겠죠? 식만 잘알아두면 좋을 것 같습니다.

• W = P∙t = VI∙t = I²R∙t 에서 교류이기 때문에 적분을 해줘야 함
• W = ∫𝒗𝑖∙dt = ∫c𝒗∙d𝒗 = 1/2c𝒗²[J]
• 𝑖 = dq/dt = d/dt(C∙V) = Cd𝙑/dt

콘덴서에서 전류는 시간당 흐르는 전하량 I = Q/t

콘덴서 전하량과 전압은 비례함으로써 등가식으로 표현하면 Q = CV

즉 정전용량 C = Q/V[F], [C/V]

또한 용량성 리액턴스 저항이 Xc 가 있음 = -𝒋1/𝛚c = 1/𝒋𝛚𝑳 = 1/𝒋2𝛑𝑓𝑳[Ω]

 

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총정리

교류회로에서 사용되는 저항, 인덕턴스, 커패시턴스 이 3가지 소자에대해 각 각 소개를 해드렸는데요.

 

저항은 전류와 전압이 동상

인덕턴스는 전류가 전압보다 90º 뒤지는 지상 전류

커패스턴스(정전용량) 전류가 전압보다 90º 앞서는 진상 전류

 

저항, 인덕턴스 ,커패시턴스 전압 및 전류 구하는 식 정리

 

이 외에도 에너지 W를 구하는 식, Xc, XL 등 잘 알아두시는 걸 추천드립니다.

 

저도 회로이론을 강의를 들으면서 최대한 취득을 위해 개념을 잡아가려고 하지만 쉽지 않은 건 사실인 것 같아요.

 

그렇지만 계속 보다보면 분명! 뇌와 눈에 익혀질거라고 생각이 들며 또 꾸준히 나아가보겠습니다.